번번한 지식 뱅크

원의 내부 점을 아무거나 잡아서 각을 8등분하면 번갈아가며 칠한 색이 같다는 정리이다.

빨간 영역과 파란 영역은 넓이가 항상 같다.

임의의 자연수는 3개 이하의 대칭수의 합으로 표현할 수 있다.

ex)

193=6+121+66

7741=7667+66+8

두 개의 세 제곱수의 합으로 나타내는 방법이 n가지인 최소의 자연수를 나타내는 함수이다.

ex)

$Cabtaxi(1)=1=1^3+0^3$

$Cabtaxi(2)=91=3^3+4^3=6^3+(-5)^3$

본인을 제외한 약수의 합이 자기 자신인 수

ex)

6 : 1, 2, 3, 6 -> 1+2+3=6

28 : 1, 2, 4, 7, 14, 28 -> 1+2+4+7+14=28

순서를 뒤집어도 같은 수가 되는 수

ex) 121, 929, 55

수를 뒤집어서 더하는 과정을 반복했을 때 상당수가 대칭수가 되는데

84

+48

----

132

+231

---

363

처럼.

196은 무한히 반복해도 대칭수가 안되는 것으로 추측되고 있다.

$2^n-1$ 형태의 소수

ex)

3, 7, 31, 127, ..

$k2^n+1$이 항상 합성수가 되게 하는 k를 일컫는다.

ex) 78557

<카프리카 수>

라고 불리는 이 수는 자릿수를 동등하게 나눠서 합을 제곱하면 자기 자신이 된다.

제곱수의 특별한 케이스라고 볼 수 있다.

ex)

$3025 \rightarrow 30 | 25 \rightarrow (30 + 25)^2 = 55^2 = 3025$

2자리 수로는 81

4자리 수로는 3025

6자리 수로는 494209

등이 있다.

2분할 말고 3분할, 4분할, ..., n분할에 대해서도 대충 짐작이 되겠지만

카프리카 수보다 많지는 않다.

3분할해서 합을 세제곱하면 자신이 되는 수에는 91125가 있다.

$91125 \rightarrow 09 | 11 | 25 \rightarrow (9 + 11 + 25)^3=45^3=91125$

모든 2 이상의 자연수 n에 대해 $n<p<2n$인 소수 $p$가 항상 존재한다.

ex)

$n=12 \rightarrow 12<p=17<24$

$n=5 \rightarrow 5<p=7<10$

$n=3 \rightarrow 3<p=5<5$

모든 자연수는 제곱수 4개의 합으로 표현할 수 있다.

$n=a^2+b^2+c^2+d^2(n,a,b,c,d\in\mathbb{N})$

ex)

$331=289+25+16+1=17^2+5^2+4^2+1^2$