오목 함수에 대해서 다음 부등식이 성립한다.
증명은 그림을 그려보면 기하학적으로 이해할 수 있다.
1) 접선 할선 절대부등식
$\displaystyle\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)\le f\left(x\right)-f\left(a\right)\le f'\left(a\right)\left(x-a\right)(x\in[a,b])$
ex)
조던부등식
$\displaystyle\frac{2}{\pi}x\le\sin x\le x$
2) 넓이 절대부등식
$\displaystyle\frac{b-a}{2}f\left(x\right)\le\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a-b\right)^{2}f'\left(a\right)f'\left(b\right)}{f'\left(b\right)-f'\left(a\right)}(x\in[a,b], f(a)=f(b)=0)$
ex)
$\displaystyle\frac{1}{2}\pi\sin x\le2\le\frac{\pi^{2}}{4}\left(x\in\left[0,\pi\right]\right)$
3) 에르미트-아다마르 부등식
볼록함수 f에 대해
$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\le\frac{f\left(a\right)+f\left(b\right)}{2}$
