오목 함수에 대해서 다음 부등식이 성립한다.

증명은 그림을 그려보면 기하학적으로 이해할 수 있다.

 

1) 접선 할선 절대부등식

$\displaystyle\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\left(x-a\right)\le f\left(x\right)-f\left(a\right)\le f'\left(a\right)\left(x-a\right)(x\in[a,b])$

ex)

조던부등식

$\displaystyle\frac{2}{\pi}x\le\sin x\le x$

 

2) 넓이 절대부등식

$\displaystyle\frac{b-a}{2}f\left(x\right)\le\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a-b\right)^{2}f'\left(a\right)f'\left(b\right)}{f'\left(b\right)-f'\left(a\right)}(x\in[a,b], f(a)=f(b)=0)$

ex)

$\displaystyle\frac{1}{2}\pi\sin x\le2\le\frac{\pi^{2}}{4}\left(x\in\left[0,\pi\right]\right)$

 

3) 에르미트-아다마르 부등식

볼록함수 f에 대해

$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\le\frac{f\left(a\right)+f\left(b\right)}{2}$

 

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